単一のSigma
分配法則
$$\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{n}(x_i + y_i) &= (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + (x_3 + y_3) + \cdots + (x_n + y_n)\\
&= \sum_{i=1}^{n}x_i + \sum_{i=1}^{n}y_i
\end{aligned}$$
定数は外に出せる
$$\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{n}cx_i &= cx_1 + cx_2 + cx_3 + \cdots + cx_n
\\
&= c(x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n)
\\
&= c\sum_{i=1}^{n}x_i
\end{aligned}$$
定数項の場合はiの変数の影響を受けないのでそのままnの分だけ加算される
$$
\sum_{i=1}^{n}c = c + c + c + \cdots + c\\
$$
$c$ は $n$ 個あることから
$$
= nc
$$
他の公式
$$\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{n} i
&= 1 + 2 + 3 + \cdots + n
\\
&= \dfrac{n(n+1)}{2}
\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{n} i^2
&= 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2
\\
&= \dfrac{n(n+1)( 2n+1 )}{6}
\end{aligned}$$
トリッキーだが下記で証明可能。以下の式について考える。
$$
\sum_{i=1}^{n} \left[ (i+1)^3-i^3 \right]
$$
まずは
$$\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{n} \left[ (i+1)^3-i^3 \right]
&= \left[ (1+1)^3-1^3 \right] + \left[ (2+1)^3-2^3 \right] + \left[ (3+1)^3-3^3 \right] + \cdots + \left[ (n+1)^3-n^3 \right]
\\
&= (2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + (4^3 - 3^3) + \dots + \left[ (n+1)^3-n^3 \right]
\\
&= ( {\color{red} 2^3 } - 1^3) + (3^3 - {\color{red} 2^3 } ) + (4^3 - 3^3) + \dots + \left[ (n+1)^3-n^3 \right]
\\
&= (n+1)^3 - 1^3 \qquad\cdots (1)
\end{aligned}$$
さらに
$$\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{n} \left[ (i+1)^3-i^3 \right]
&= \sum_{i=1}^{n} \left( i^3+3i^2+3i+1 - i^3 \right)
\\
&= \sum_{i=1}^{n} \left( 3i^2+3i+1 \right)
\\
&= \sum_{i=1}^{n} 3i^2 + \sum_{i=1}^{n} 3i + \sum_{i=1}^{n} 1
\\
&= 3 \sum_{i=1}^{n} i^2 + 3 \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} + n & (2)
\end{aligned}$$
$(1)$ と $(2)$ より
$$\begin{aligned}
& \sum_{i=1}^{n} \left[ (i+1)^3-i^3 \right]
\\
=~& (n+1)^3 - 1^3
= 3 \sum_{i=1}^{n} i^2 + 3 \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} + n
\\
\Leftrightarrow~& (n+1)^3 - 1^3
= 3 \sum_{i=1}^{n} i^2 + 3 \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} + n
\\
\Leftrightarrow~& 3 \sum_{i=1}^{n} i^2
= (n+1)^3 - 1^3 - 3 \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} - n
\\
\Leftrightarrow~& \sum_{i=1}^{n} i^2
= \dfrac{1}{3}\left[ (n+1)^3 - 1 - 3 \cdot \dfrac{n(n+1)}{2} - n \right]
\\
\Leftrightarrow~& \sum_{i=1}^{n} i^2
= \dfrac{1}{6}\left[ 2(n+1)^3 - 2 - 3n(n+1) - 2n \right]
\\
\Leftrightarrow~& \sum_{i=1}^{n} i^2
= \dfrac{1}{6}\left[ 2(n+1)^3 - 3n(n+1) - 2n - 2 \right]
\\
\Leftrightarrow~& \sum_{i=1}^{n} i^2
= \dfrac{1}{6}\left[ 2(n+1)^3 - 3n(n+1) - 2(n+1) \right]
\\
\Leftrightarrow~& \sum_{i=1}^{n} i^2
= \dfrac{n+1}{6}\left[ 2(n+1)^2 - 3n - 2 \right]
\\
\Leftrightarrow~& \sum_{i=1}^{n} i^2
= \dfrac{n+1}{6}\left( 2n^2+4n+2 - 3n - 2 \right)
\\
\Leftrightarrow~& \sum_{i=1}^{n} i^2
= \dfrac{n+1}{6}\left( 2n^2+n \right)
\\
\Leftrightarrow~& \sum_{i=1}^{n} i^2
= \dfrac{n(n+1)( 2n+1 )}{6}
\end{aligned}$$
二重和
交換可能
$$
\sum_{i=1}^{N_X}\sum_{j=1}^{N_Y}x_{i}y_{j} = \sum_{j=1}^{N_Y}\sum_{i=1}^{N_X}x_{i}y_{j}
$$
分解可能
$$
\sum_{i=1}^{N_X}\sum_{j=1}^{N_Y}x_{i}y_{j} = \sum_{i=1}^{N_X}x_{i}\sum_{j=1}^{N_Y}y_{j}
$$
$x_i$ は $j$ の値によらないので外に出せる
