関連用語
| 名称 | 英語名称 | 数学記号 | 説明 |
|---|---|---|---|
| 起こりうる結果 | possible outcomes | ある試行においてとりうることが可能な値 | |
| 標本点 | sample point | $\omega$ | 起こりうる結果のひとつひとつのこと |
| 標本空間 | sample space | $\Omega$ | 標本点のすべての集合 |
| 事象 | event | 標本空間の部分集合 | |
| 全事象 | sure event | $\Omega$ | 標本空間と同じ |
| 空事象 | empty event | $\phi$ | |
| 拝反事象 | mutually exclusive events | ||
| 和事象 | union of events | ${A}\cup{B}$ | AとBの集合のうち少なくとも一方の事象が起きる事象 |
| 積事象 | intersection of events | ${A}\cap{B}$ | AとBが同時に起きる事象 |
| 余事象 | complement of an event | $\overline{A}$ | 事象Aが起こらないという事象 |
| 確率 | probability | $P(A)$ | 事象Aが起こる確率 |
| 条件付き確率 | conditional probability | $P(A|B)$ | Bの条件のもと事象Aが起こる確率 |
標本空間と事象について
コイン投げで考える。
コインを1回投げた試行の結果を「裏：0, 表：1」とすると、標本空間は$\Omega=\{{0,1}\}$となる。
また、事象は$\omega=\{0,1\},\{0\},\{1\},\phi$となる。
事象は「標本空間の部分集合」であり、$\{0,1\}$は0もしくは1が出た場合の集合と考えれば良い。
事象に関する法則および性質
和事象・積事象の分配法則
$$\begin{aligned}
({A}\cap{B})\cup{C} &= ({A}\cup{C})\cap({B}\cup{C})\\
({A}\cup{B})\cap{C} &= ({A}\cap{C})\cup({B}\cap{C})
\end{aligned}$$
ド・モルガンの法則
$$\begin{aligned}
\overline{{A}\cap{B}} = {\overline{A}}\cup{\overline{B}}\\
\overline{{A}\cup{B}} = {\overline{A}}\cap{\overline{B}}
\end{aligned}$$
加法定理
$$\begin{aligned}
& P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) -P\left( A\cap B\right)\\
& P\left( A\cup B\right) =P\left( A\right) +P\left( B\right) & (A \cap B=\phi のとき)\\
\end{aligned}$$
条件付き確率
ある事象 A について別の事象 B が起こったときの事象 A が起こる確率を、 B を条件とする A の条件付確率という。
$$
P\left( A | B\right) = \dfrac{P\left( A\cap B\right) }{P\left( B\right) }
$$
乗法定理
条件付き確率の公式を組み替えると作れる。
$$
P\left( A\cap B\right) = P\left( A | B\right) \cdot P\left( B\right)
$$
独立性
ある事象Aにおいて別の事象Bに事象Aが起こる確率が左右されない場合、この二つの事象は独立しているという。
$$
P\left( A | B\right) = P(A)
$$
このとき乗法定理は下記となる
$$
P\left( A\cap B\right) = P(A) \cdot P\left( B\right)
$$
