ヨビノリ今週の積分
はじめていきます(^o^)
#1
お題
https://www.youtube.com/watch?v=vm7LcyupMs0
$$ \int \tan^3xdx $$
筆者の解答（ヨビノリさんを大いに参考にしながら）
利用する公式
$$ 1 + \tan^2x = \dfrac{1}{\cos^2x} \tag{f1} $$ $$ (\tan x)^\prime = \dfrac{1}{\cos^2 x} \tag{f2} $$ $$ \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \tag{f3} $$ $$ (\cos x)^\prime = - \sin x \tag{f4} $$ $$ \dfrac{d}{dx} \left[ f(g(x)) \right] = f^\prime(g(x))g^\prime(x) $$ $$ \dfrac{d}{dx} \left[ \dfrac{1}{2}\tan^2 x \right] = \tan x (\tan x)^\prime \tag{f5} $$
導出
$$\begin{aligned} \text{f1を用いて} \\ \int \tan^3xdx &= \int \left( \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1 \right) \tan x dx \\ &= \int \left( \dfrac{\tan x}{\cos^2 x} - \tan x \right) dx \\ &= \int \dfrac{\tan x}{\cos^2 x} dx - \int\tan x dx \\ \text{f2を用いて} \\ &= \int \tan x {\color{red} (\tan x)^\prime} dx - \int\tan x dx \\ \text{f3を用いて} \\ &= \int \tan x (\tan x)^\prime dx - \int {\color{red} \dfrac{\sin x}{\cos x}} dx \\ &= \int \tan x (\tan x)^\prime dx ~{\color{red} + } \int \dfrac{{\color{red}- \sin x}}{\cos x} dx \\ \text{f4を用いて} \\ &= \int \tan x (\tan x)^\prime dx + \int \dfrac{{\color{red} (\cos x)^\prime }}{\cos x} dx \\ \text{f5を用いて} \\ &= \dfrac{1}{2} \tan^2 x + \log |\cos x| + {\rm C} \end{aligned}$$
